Dernière mise à jour :2008-09-26

sciences

Histoire - Première définition

Pi est défini comme étant le rapport constant entre la circonférence et le diamètre d'un cercle.

Remarque : Il a déjà fallu un certain temps à l'homme pour trouver que ce rapport est constant..., et donc pour découvrir l'existence de PI. A l'origine, ce rapport est noté P. C'est Euler qui utilisa la notation de la seizième lettre de l'alphabet grec, notation gardée par la suite vue l'importance de ses travaux.

Ainsi, pour tout cercle de périmètre p, de diamètre D (de rayon R),
def : p = Pi * D = 2 * Pi * R

Le nombre Pi, un nombre "naturel" ?

Connaître l'existence d'une constante est fort intéressant, mais connaître sa valeur l'est beaucoup plus... Elle l'est d'autant plus que Pi apparait dans de très nombreux problèmes physiques et mathématiques :

Calcul de surface et de volume impliquant des cercles ou des ellipses.

Par exemple, on trouve, par intégration, des formules classiques telles que :

  • volume d'une boule de rayon R = 4/3 Pi R3
  • surface d'une sphère de rayon R = 4 Pi R²
  • Aire d'une ellipse de demi grand axe a et de demi petit axe b = Pi a b
  • Périmètre d'une ellipse =

En astronomie, Pi est important puisque les étoiles et les planètes ont plus ou moins une forme de boule et décrivent plus ou moins des trajectoires elliptiques les unes par rapport aux autes.

Le nombre Pi est fait également parti des formules d'électromagnétisme

Et dans de nombreux autres cas...

Pi arrive aussi là où on l'attend beaucoup moins... Par exemple,
limit( 1+ (1/2)² + (1/3)² + ... + (1/n)² ) = ²/6

Méthodes géométriques de calcul/mesure de Pi

Pour résoudre les nombreux problèmes de géométrie qui font appel à Pi, il est nécessaire d'en connaîte la valeur numérique. Les anciens aimaient beaucoup la géométrie c'est pourquoi beaucoup de déterminations s'appuient sur des approximations géométriques.

Inscription d'un cercle dans un polygône

Géométriquement, on construit un cercle de diamètre 1. Son périmètre est donc égal à  qui est la valeur cherchée.

On construit un polygône à n côtés inscrit dans le cercle, et un second polygône à n côtés semblable au premier circonscrits au cercle. Il est clair que  est compris entre les périmètres des deux polygônes.

Avec un polynôme à 96 côtés, ARCHIMEDE (-287;-212) aboutit à l'encadrement suivant :

La précison est d'autant plus grande que n est élevé. A la limite, les polygônes inscrits et circonscrits sont des cercles quand n est infini... Cependant cette méthode a une convergence très lente.

PTOLEMEE (II siècle) donne = 3+17/120

On remarque au passage qu'en occident les progès sont lents (ARCHIMEDE propose à peine moins bien). Ceci est dû au fait que la notation décimale est lentement adoptée, les calculs restent pénibles.

L'indien ARYABMATA l'ancien (476;550) donne

Une autre façon de déterminer avec précision Pi serait de construire un carré et un cercle de même surface. On pourrait alors calculer indépendamment le rayon r du cercle et le côté a du carré, et l'égalité des aires donnerait Pi=a²/r². Ce problème, appelé quadrature du cerlce a été formulé en premier par HIPPOCRATE DE CHIOS (V siècle avant notre ère).

Mais la résolution de ce problème est impossible. En effet, on peut montrer que Pi est transcendant (démonstration effectuée par LINDERMAN en 1882) et la règle et le compas ne permet de tracer que des nombres algébriques, comme l'a montré le mathématcien Pierre WANTZEL en 1837.

Méthodes arithmétiques

Finalement, l'arithmétique supplante la géométrie. Les démonstrations sont plus précises, les formules sont plus performantes.

Francois VIETE (XVIe siècle)

Comme ARCHIMEDE, VIETE utilise un polygône mais il fait tendre le nombre de côté vers l'infini ce qui lui donne :

WALLIS (1616-1703)

Même si elle ne converge pas très rapidement, cette série constitue la première belle définition :

GREGORY (1638-1675)

Il a découvert la formule de l'Arctan : L'arctangente (notée Atan ou arctan) est la bijection réciproque de l'application :

En intégrant le développement limité de Arctan'(c), il obtient

En particulier,  /4 = Atan(1)

LEIBNIZ (1646-1716)

Il obtient la même formule au même moment et c'est en fait lui qui va la publier en 1674

MACHIN

MACHIN (1680;?) énonce la formule qui porte son nom :

Ce qui ramène le problème au calcul d'arctangente.

STIRLING (1692-1770)

Dans la liste des apparitions inattendues de Pi, on peut ajouter la formule de STIRLING:

EULER (1707-1783)

Il découvrit limit( 1+ (1/2)² + (1/3)² + ... + (1/n)² ) =  ²/6

Définition moderne

Cette définition, entièrement analytique, est proposée par ARNAUDIES et FRAYSSE. Je vais rapidement la présenter, sans aucune démonstration.

Soit A une algèbre de dimension finie. Pour tout x de A on appelle exponentielle de x la et on note :
 (série de MAC LAURIN)

Remartque : En particulier, si A=IR, alors l'exponentielle correspond à l'exponentielle réelle telle qu'on la définit en terminale, c'est à dire comme étant l'application réciproque de la primitive de 1/x qui s'annule en 1. Mais cette définition par les séries est plus forte car elle s'applique à toute algèbre normée, par exemple, on peut calculer l'exponentielle d'une matrice.

On définit alors la fonction cosinus par : pour tout x complexe,

 où ex = exp(x) et i l'imaginaire pur tel que i² = -1

déf :  est le double de l'unique racine w de l'équation cos(w)=0 comprise entre 0 et 2. Ainsi cos( /2)= 0 et 0< /2 <2

On obtient alors  .

Cette relation fascinait Euler car elle relie les 5 nombres fondamentaux que sont 0 (élément neutre pour l'addition), 1 (élément neutre pour la multiplication), e (base du logarithme népérien), i (tel que i²=-1) et Pi ! Vous trouverez la formule d'Euler à l'entrée de la salle "Pi" du palais de la découverte (Paris)

Calcul pratique

Oublions les formules "belles" et tournont nous vers des méthodes qui convergent très rapidement.

Utilisation de la base binaire

Et bien, moi, je connais exactement le nombre Pi ! Avec toutes ses décimales ! D'accord, je triche un peu parce que ce n'est pas en base 10.... En effet  = 2,2222222... dans la base à pas variable 1/3;2/5;3/7;...n/(2n+1);...

 =

Tout comme par exemple 8,27 = 8 *(1/10)° + 2*(1/10) + 7*(1/10)² = 8+ (1/10) * (2 + 7*(1/10) )

Le milliard ! Le milliard !

Le mathématicien indien RAMANUNJAN (1867;1920) a encore fait preuve d'une intuition mathématique incroyable pour donner

Malheuresement cet autodidacte n'avait pas pour habitude de démontrer ses propriétés. Cette formule a été démontrée par les frères BORWEIN en 1987. Elle a été utilisée par GOSPER pour calculer 17 millions de décimales en 1985. Une formule similaire fut utilisée par les frères CHUDNOVSKY en 1994 pour obtenir 4 milliards de décimales ! La formule a donc été utilisée avant d'avoir été démontrée... D'un point de vue mathématiques, ce n'est pas très rigoureux, non ? En fait le fait qu'il y a coïncidance sur un grand nombre décimal fait que l'on espère calculer la bonne chose ensuite. Mais il faut se méfier de ce genre de raisonnement !

Par exemple, coincïde sur plus de 42 milliars de décimales mais diffère au delà !

Moyens mnémotechniques

pour apprendre les décimales de Pi (enfin, les premières...)

Ils reposent souvent sur l'écriture d'un poême dont la longueur des mots correspond aux décimales successives. Par exemple (en convenant qu'un mot de dix lettres représente un 0) :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Glorieux Archimède, artiste, ingénieur,
toi de qui Syracuse loue encore la gloire.
Soit ton nom conservé par de savants grimoires !

Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'oeuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
O quadrature ! Vieux tourment du philosophe !

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses initiateurs.
Comment intégrer l'espoace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
Professeur, enseignez son probblème avec zèle

pour apprendre les décimales de l'inverse de Pi

On retiendra 1/Pi = 0,3183098...
"Les trois journées de 1830 ont renversé 89"

Les formules d'aires et de volumes

Si la circonférence est fière
D'être égale à deux Pierrre,
Le cercle est tout heureux
Dêtre égal à Pierre II.

Le volume de toute Terre
De toute sphère
Qu'elle soit de pierre ou de bois
Est égal à quatre tiers de Pi R trois.

Bibliographie

Je vous recommande l'excellent livre "Le fascinant nombre Pi" de Delahaye (224 pages, 140F, édition Bibliothèque Pour la Science), qui retrace l'histoire des découvertes de ses décimales.

Vous pouvez également consulter "Les mathématiciens de A à Z" aux éditions Bréal.

Auteur : Régis Décamps

Copie autorisée

Version originale : http://faq.maths.free.fr/html/faq09.php3

Date de mise en ligne : 2003-08-17

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